Keplerの方程式
1858年11月17日ＵＴ午前０時（ＪＳＴ午前９時）からの通日をＭＪＤ(修正ユリウス日)という。グレゴリウス暦の日本標準時 YY年 MM月 DD日 HH時 NN分は次式でＭＪＤに変換される。
ただし［ ］の記号は切捨て整数化を表し，１月と２月は前年の１３月，１４月とする。
MJD = [365.25YY] + [YY/400] - [YY/100] + [30.59(MM−2)] + DD
+ ( HH − 9 )/24 + NN/1440 − 678912
（１）
太陽系の天体は一部の彗星を除き楕円軌道を描いており，どんな楕円上をどんな速度で運動するかはケプラーの３つの法則に従う。
１）惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描く。
２）太陽と惑星を結ぶ線分と楕円の長軸とでできる扇形の面積速度は一定である。
３）どんな惑星でも公転周期の２乗と軌道長半径の３乗の比は一定である。
楕円とは円をある一方向だけに圧縮したもので，図の半径ａの円をｙ方向にｂ／ａ倍すると長半径ａ，短半径ｂの楕円が得られる。楕円の形は軌道長半径ａと離心率ｅとで特徴付けられる。
ａの単位は天文単位（AU･･･Astronomical Unit）を用い，１ＡＵとは地球の軌道長半径（＝1.496 × 10８ｋｍ）にあたる。また離心率 とはｅ＝√(ａ２−ｂ２)／ａと定義される０以上１未満の数で，
０のとき円を，１に近くなればなるほど扁平な楕円を表す。水星と冥王星以外はｅ＜０．１で，ほぼ円軌道を描いている。一方ハレー彗星など周期彗星ではｅは１に非常に近い。すなわちａは楕円のサイズを，ｅは楕円の扁平度を表すパラメータである。
楕円の中心を原点，長軸をｘ軸，短軸をｙ軸とする座標系をとると焦点は（±ae，0）であり，第１法則より太陽は一つの焦点Ｓ（ae，0）に，惑星は楕円上Ｐ（X，Y）に位置している。原点を中心とし半径ａの円を描き，Ｐ'を図のように定め∠Ｐ'ＯＸ＝Ｅを導入しこれを離心近点角という。
X = a cos E （２）
Y = a√(1-e２) sin E （３）
太陽･惑星間距離は
ｒ＝√((Ｘ−ａe)２＋Ｙ２) ＝a(1-e cos E)
ｒの最大値，最小値は次のように与えられるのは明かである。
最小値 ａ（１−ｅ） Ｅ＝０゜ ＰがＡに一致するとき
最大値 ａ（１＋ｅ） Ｅ＝１８０゜ ＰがＡ'に一致するとき
Ａが近日点，Ａ'が遠日点と呼ばれるわけは自明であろう。ａはｒの最大値と最小値の平均となるので平均距離とも言われる。
第２法則の表現は解りつらいが，惑星が楕円上をどのように運動し，いつどこにいるかを記したもので，これよりケプラーの方程式が導かれる。
E− e sin E = M (４)
この方程式はＭを与えてＥを求めるものである。Ｍは平均近点離角と言われ近日点通過時からの経過日数に比例し，近日点通過時に０゜，遠日点通過時に１８０゜となる。ＭＪＤ＝ＭＪＤ０（基準日）の時のＭの値をＭ０ とすると
M = n( MJD − MJD０ ) + M０ （５）
また定数ｎは平均日々運動といわれ，惑星が１日当たり公転運動する角度で平均角速度に当たる。
n = 360／(365.24219 p)
ｐは公転周期であるが，第３法則によってｐ（年）とａ（ＡＵ）は，
ａ３=ｐ２
という関係があるから
n = 0.985647365 a−3/2
（６）
軌道長半径ａ，離心率ｅ，基準日ＭＪＤ０とその平均近点離角Ｍ０
を与えると,任意の日付（YY,MM,DD,HH,NN）におけるＭが（５）,（６）より計算でき，ケプラーの方程式（４）を数値的に解いて，求めたＥを（２）,（３）に代入すればＸ，Ｙが求まり，すなわち任意の時刻の惑星の位置が得られる。
軌道図例 地球の軌道 VBS
９惑星と主な小惑星・彗星の軌道要素は毎年の理科年表に載っている。