２階微分方程式

　　「基礎数学演習」(共立出版)ｐ１２８～ｐ１３２を参照        
y'' + Py' + Qy =　R の解はR＝0のときの解（A)に特解（B)を加えたものである。PとQが定数の場合には（A)は特性方程式（2次方程式）
　　　ｔ２＋Pt ＋Q = 0
の 解をα，β とすると
　　　ｙ＝C1exp(αｘ)＋C2exp（βｘ）　　            P2＞４Q
　　　　　（C1＋C2ｘ)exp（αｘ）　　　　　　　　　　P2＝４Q
　　　　　exp(λｘ)（C1cos(μｘ)＋C2sin(μｘ)）　 　P2＜４Q
                   　　　　　　　（ただしα　β　の実部をλ，虚部をμとする）
である。また特解（B)を求めるのは試行錯誤，熟達した直感が必要である。P，Qは一般に ｘ,　ｙ,ｘ２,ｙ２,ｘｙの関数でありＲもそうであるから数値解法 に頼ることが多い。
　ｙ'＝ｚ とおくと与微分方程式は
　　　　ｚ'＝Ｒ－Ｐｚ－Ｑｙ
 すなわち2階微分方程式は連立１階微分方程式に変形される。そこで
  ｙ'＝f(x, y, z)　ｚ'＝ｇ（ｘ, ｙ, ｚ） とし　h=Δx　k=Δy/h  l=Δｚ/h と定義する。h を与え初期値 x0, y0 ｚ0より ｆ,g を計算し順に x,y,z を求めていく。
  1. RungeKutta法 　　
    　　    y'　＝　ｚ　＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）
    　　y''　＝　ｚ'　＝ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）　とする。
    　　　　     k1=f(x,y,z)
              l1=g(x,y,z)
          　 k2=f(x+h/2,y+hk1/2,z+hl1/2)
              l2=g(x+h/2,y+hk1/2,z+hl1/2)
              k3=f(x+h/2,y+hk2/2,z+hl2/2) 
              l3=g(x+h/2,y+hk2/2,z+hl2/2) 
              k4=f(x+h,y+hk3,z+hl3)
              l4=g(x+h,y+hk3,z+hl3)
     Δy=(k1+2k2+2k3+k4)h/6              Δz=(l1+2l2+2l3+l4)h/6 

[課題]         
①　次の微分方程式を0≦x≦2の範囲で解け。(5)以外は解析解と比較せよ。  　
　　(1)　y''－ｙ＝0　　　              　　ｘ＝0　で　ｙ＝2，ｙ'＝1
　　(2)　y''+ ｙ'＝0.5　　　　            　ｘ＝0　で　ｙ＝1，ｙ'＝0
　　(3)　y''+ 4ｙ＝sin x　　             　ｘ＝0　で　ｙ＝5，ｙ'＝0
　  (4)　y''+ 6y'+5ｙ＝0　　        　 　ｘ＝0　で　ｙ＝1，ｙ'＝3
　　(5)　y''－(1－ｙ2)y'+y＝0　　 　　ｘ＝0　で　ｙ＝0.5，ｙ'＝0　
②　　錘の振動　　 p129　問34
③　　電気回路　　 p130　問35
④　　振子の運動　p130　問36
⑤　　雨滴の運動　p130　問37
⑥　　Emdenの方程式　の解析解（n=0,1,5）を求める。
⑦　　Emdenの方程式　の数値解を求める。   サンプル