数値積分法1

 ｆ（ｘ）をx＝ａからｂまで積分するには原始関数Ｆ（ｘ）を求めＦ（ｂ）−Ｆ（ａ）を計算すればよいが，一般に原始関数を初等関数で求めることは容易ではない。数値的解法では以下のように面積で計算する。
　　 ｘ＝ａ から ｘ＝ｂ　までをｎ分割し（等間隔でなくてもよい）各幅をh_iとする。
　　　　　ａ＝x₀<x₁<x₂<・・・・<x_n-1<x_n=b
　　　　　　h_i = x _i- x_i-1。
y=ｆ（ｘ）　x軸　x＝x_ix＝x_i-1で囲まれた部分の面積は　x_i と x_i-1 との間のある数をξ_iとし　
長方形の面積 f(ξ_i）h_i と等しくできる（平均値の定理）。これをｉ＝1からｎまでについて行い総和を求めると　�� f(ξ_i）h_i は　n→∞のとき　y=ｆ（ｘ）　x軸　x＝ａx＝bで囲まれた部分の面積に等しくなるだろう。この極限値がξ_iに無関係に存在するときf(x)は積分可能と言う。
実際の計算ではｘ＝ａ から ｘ＝ｂ までの区間をｎ等分する。ｎ〜２０で良い精度で計算できる。　　

１）中点公式
　　分割数は偶数個２ｎ　
　　　ｈ＝（ｂ−ａ）／２ｎ　とする。　
　　　x_i ＝ａ＋ｉｈ　
　奇数番目の点におけるｙの値を高さ　２ｈを底辺とする長方形を作り，その面積の総和を求める。
　　　�狽Qｈ・f(x_i ）　　（ｉ＝１，３，５，・・・・２ｎ−１）

２）台形公式
　　分割数はｎ　
　　　ｈ＝（ｂ−ａ）／ｎ　とする。　
　　　x_i ＝ａ＋ｉｈ　
　　各点（x_{i ，}f(x_i ））を結んでできる台形の面積の総和を求める。
　　　�狽�/2・（f(x_i−１ ）＋f(x_i ））　　（ｉ＝１，２，３，・・・・ｎ）

３）Ｓｉｍｐｓｏｎの公式
　　分割数は２ｎ　
　　　ｈ＝（ｂ−ａ）／２ｎ　とする。　
　　　x_i ＝ａ＋ｉｈ　
　曲線を放物線で近似する。３点（x_{i−１ ，}f(x_i−１ ）），（x_{i ，}f(x_i ）），（x_{i＋１ ，}f(x_i＋１ ））を通る2次式を作　り，各部分の面積の総和を求める。
　　　�狽�/3・（f(x_i−１ ）＋４f(x_i ）＋f(x_i＋１ ））　　（ｉ＝１，３，５，・・・・２ｎ−１）

１），２）に比べ３）では精度が急上する。    　　　　　　次へ

［プログラム］
Simpson の演算部

　　h = (b - a) / n / 2; 
    s=0;
    for (i=0;i<=2*n-2;i=i+2){
     x = a + i * h;
     s = s + f(x,k) + 4 * f(x + h,k) + f(x + 2 * h,k);
  }
	  printf("  Integral=%f\n", s*h / 3);

［サンプル図］はここ

［問題］　次の関数を０から１まで積分せよ

　�@　f(x) = 4 / (x^２ + 1)   
  �A  f(x) = x  sin(x)
  �B　f(x) = x Exp(-x)
  �C　f (x)= √(1-x²)